LOGIKA
PENDAHULUAN
·
Logika
adalah ilmu yang mempelajari tentang penalaran yang berhubumgan dengan
pembuktian validitas suatu argumen.
·
Argument
yang berisi pernyataan-pernyataan harus dirubah menjadi bentuk logika untuk
dapat dibuktikan validitasnya.
·
Cara
membuat ke bentuk logika, argument harus dirubah menjadi preposisi-preposisi
selanjutnya preposisi dirubah menjadi variabel preposisi dengan huruf.
·
Setiap
variabel preposisi ditentukan nilainyadan dimanipulasi dengan cara tertentu
untuk mendapatkan nilaikebenarannya.
·
Contoh-contoh
argument yang valid dan yang bisa dipakai adalah. Disjunctive Sillogism,
Hypothecal Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens.
·
Argument
: permis & kesimpulan, preposisi / pernyataan semua berbentuk kal.
·
Preposisi
dinotasikan dengan huruf abjad dan
diberi nilai benar dan salah.
·
Eksprersi
terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika
PREPOSISI
Kalimat
yang benar atau salah, ttp tidak keduanya
·
Preposisi
atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa
+ atom / kalimat sederhana
+ kalimat kompleks, komposisi
kalimat menggunakan operator logika.
·
Kalimat
sederhana bisa berupa
+ symbol konstanta : true dan
false
+ symbol variabel proposisi : p,q,r,p1,q1
·
Literial
adalah atom atau negasinya.
OPERATOR LOGIKA
(disusun
berdasarkan hirarki)
Symbol
|
Arti
(dibaca)
|
Bentuk
|
¬
|
Negasi
/ not / tidak
|
Tidak
…
|
Λ
|
Konjungsi
/ and / dan
|
….
Dan ….
|
v
|
Disjungsi
/ or / atau
|
….
Atau …
|
→
|
Implikasi
|
Jika
….. maka ….
|
↔
|
Ekuivalensi
/ biimplikasi
|
….
Jika hanya jika …
|
·
Definisi
kalimat / preposisi
o
setiap
konstanta logika true dan false adalah proposisi
o
variabel
logika p,q,r,,p1,q1,…. Dalah proposisi
o
jika
a dan b adalah proposisi
maka a Λ b, a V b , a b dan -a adalah
proposisi.
MEMPRESENTASIKAN FAKTA
·
proporsisi
bisa mempresentasikan kalimat berita
·
p
: saya malas belajar
·
q
: saya lulus kuliah
·
p
Λ q : saya malas belajar dan lulus kuliah
·
p
¬q : jika
saya malas belajar maka saya tidak lulus kuliah
AMBIGUITY
·
Ambigu
: mempunyai banyak arti
·
Contoh
: p Λ q V r berarti p Λ(q V r) atau (p Λ q)V r
·
Untuk
menghilangkan ambiguity bisa menggunakan
notasi kurung buka dan tutup yaitu (dan) atau prioritas/hirarki operator
(precedence)
Table kebenaran
v
Adalah
table yang menunjukkan nilai kebenaran dan hasil kombinasi
proposisi-proposisinya
v
Secara
umum jika ada n variabel proposisi , maka tabel kebenarannya ada 2n baris.
v
Definisi
masing-masing penghubung/operator sbb:
p
|
q
|
p
|
P Λ q
|
P V q
|
P q
|
P ↔ q
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
v
Keterangan
tabel lihat halaman berikut
Keterangan
tabel
1)
Negasi
Proposisi
¬p memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan aslinya
Misal
jika p bernilai F maka ¬p bernilai T
2)
Konjungsi
Proposisi
p Λ q (di baca p dan q ) adalah bernilai benar bila nilai p dan q keduanya bernilai benar, sedangkan
kombinasi yang lain bernilai salah
3)
Disjungsi
Proposisi
p q (dibaca p atau q )
adalah bernilai salah , bila nilai p dan q keduanya bernilai salah, sedangkan
kombinasi yang lain bernilai benar
4)
Implikasi
Proposisi
p q (dibaca :# jika p maka q,# q apabila p,# p hanya bila q,# p
sarat cukup q, # q syarat perlu p )adalah bernilai salah bila p benar dan q
salah, sedangkan kombinasi lainya bernilai benar
5)
Biimplikasi
Proposisi
p↔ q ( dibaca p bila hanya bila q ) yang berarti juga (p → q)Λ(q→p) adalah
bernilai benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama ( keduanya
bernilai benar atau keduanya bernilai salah )
Contoh
Misal ; p =
budi orang kaya
Q=budi berduka cita
Tulislah
bentuk simbul logika kalimat-kalimat berikut :
a)
Budi
orang yang miskin tetapi bersuka cita.
b)
Budi
orang kaya atau ia sedih.
c)
Budi
tidak kaya ataupun bersuka cita.
d)
Budi
orang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.
Jawab
: a). ¬p Λ q b). pV¬q
c).¬p Λ¬ q d).
¬pV (pΛ¬ q)
contoh
2
diketahui
kalimat-kalimat yang sudah dalam bentuk symbol logika berikut dibawah
ini,buatlah kebenarannya:
a). ¬(¬pV¬q) b).¬(¬p ↔q)
c).
(p→q)Λ¬(pVq) d).(¬pΛ(¬qΛr))
V (qΛ r ) V (p Λr)
jawab :
p
|
q
|
r
|
¬p
|
¬q
|
¬qΛr
|
qΛr
|
pΛr
|
|||
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Contoh
3
Pada
kondisi bagaimanakah agar kalimat berikut ini benar?”tidaklah benar bila rumah
kuno selalu bersalju ataupun angker,dan tidak juga benar bila sebuah hotel
selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak”
Jawab
Membuat
variabel proporsisi misal p=
Selanjutnya
didapat bentuk logika sbb (¬(pVq)) Λ¬(rVs)).
Untuk
menyelidiki kondisi kombinasinya dimana seluruh kalimat bernilai benar,harus
dibuat tabel kebenaran ……………
Dari
tabel diatas terlihat bahwa
Tidaklah
benar bila rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga benar bila
sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak adalah bernilai benar bila
rumah kuno tersebut tidak selalu bersalju,tidak selalu angker,tidak selalu
rusak, dan hotelpun tidak selalu hangat
EKUIVALEN
(p q) atau p q
Adalah
bila hanya bila ruas kiri dan ruas kanan memiliki nilai kebenaran yang sama
untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari masing-masing kalimat penyusunnya
(kalimat pada ruas kiri dan kalimat pada ruas kanan )
Contoh
:
Tentukan
apakah pasangan bentuk logika p → q dengan ¬p Vq ekuivalen
Jawab :
Buat
tabel kebenaran kedua bentuk logika sbb :
p
|
q
|
P→ q
|
¬p
|
¬pVq
|
Oleh karena tiap-tiap baris nilai kebenaran
sama, maka p→q ¬pVq
HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA
1). Hukum komunitatif ; p Λ q q Λ p ; p V q q V p
2). Hukum asosiatif ; pΛq )Λr pΛ(qΛr); (pΛq)Λr pΛ(qΛr)
3). Hk distributif; ; pΛ(q Vr) (pΛq)V(pΛr); pV(qΛr) (pΛq)V(pΛr);
4). Hk.identitas ; pΛT p; pVF=p
5). Hk. Ikatan ; pΛF p; pVT p
6). Hk. Negasi ; (pΛ¬p) F ; (pV ¬p) T ;
7). Hk.Negasi ganda ¬ ( ¬p) p ;
8). Hk. Idempoten ; (pΛp) p; (pVp p;
9). Hk. Demogran ; ¬ ( pΛq) pV ¬q, ¬(pVq) ¬pΛ¬q,
10). Hk.absorbsi ; pV (pΛq) p pΛ(pVq) p
11). Hk. Negasi T dan F ; ¬T F ¬F T
|
|
|
Manfaat hokum-hukum diatas adalah
dapat digunakan untuk menyederhanakan kalimat-kalimat yang komplek
Contoh :
Sederhanakan bentuk , ¬(¬p Λ q) Λ
(p V q)
Jawab :
(¬ ¬ pV¬q)Λ( pVq ) ; berubah jadi
ini karena hk demorgan
(pV¬q)Λ(pVq) ; berubah jadi
ini karena hk negasi ganda
pV(¬qΛq) ; berubah jadi
ini karena hk distributive
pVF ; berubah jadi ini karena hk
p ; berubah jadi ini karena hk
Untuk membuktikan ekuivalensi dengan cara
: biasanya bentuk yang lebih komplek diturunkan ke yang lebih sederhana , jika
sama - sama komplek sama – sama diturunkan dg hk yang berbeda jika terdapat
penghubung , dan , penghubung tersebut harus dirubah dulu dalam bentuk penghubung
, V, Λ,
dan ¬
contoh buktikan ekuivalensi berikut tanpa
tabel kebenaran
a)
( q→p ) ↔ ( ¬ p→¬q)
Jawab
Ruas kanan tampaknya lebih komlpek, untuk
itu yang disederhanakan ruas kanan
(¬p→¬q ) ↔ ¬
(¬p)V¬q (transformasi dari → ke
V )
↔ pV¬q (negasi
ganda )
↔ ¬qVp
(komunikatif)
↔ q
→p (transformasi dari V
ke → )
Terbukti ruas kiri sama dengan ruas kanan
yaitu (q→p) ↔ ( ¬p→¬q)
b)
(p→(q→r)) ((pΛq)→r)
Jawab
Ruas kiri ; (p→(q→r)) ( ¬pV(q→r))
¬pV (¬qVr)
(¬ pV ¬q)Vr
¬( pΛq)Vr
(p Λ q)→r terbukti sama dengan ruas kanan
TAUTOLOGI
DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah suatu kalimat yang selalu
bernilai benar (T) , dan tak peduli nilai kebenaran kalimat penyusunnya.
Kontradiksi adalah suatu kalimat yang bernilai
salah.
Misal diketahui implikasi adalah p→q maka :
Konversinya
adalah q → p
Inversinya
adalah ¬p→¬q
Kontraposisinya
adalah ¬q →¬p
Catatan implikasi ikuivalensi dg kontraposisi
jadi merupakan tautology
Contoh
Tentukan apakah kalimat dibawah
a)
(pΛq)→q
b)
q→(pVq)
tautologi
atau kontradiksi dengan cara tabel kebenaran
jawab
a). dengan tabel kebenaran
P
|
Q
|
pΛq
|
(pΛq)→q
|
Oleh
karena semua baris pada kolom ( pΛq)→q bernilai T maka (pΛq)→q adalah tautologi
P
|
Q
|
pVq
|
q→(pVq)
|
b).dengan
tabel kebenaran
semua baris pada kolom q→(pVq)
adalah T maka q→(pVq)
merupakan tautologi
INFERENSI
LOGIKA
Menentukan nilai kebenaran suatu
kesimpulan berdasarkan sejumlahkalimat yang diketahui nilai kebenarannya
1).argumen
valid : jika semua hipotesis / pernyataan benar dan kesimpulan juga
benar.(kebenaran kesimpulan ini dikatakan turun dari hipotesis)
2).argumaen
invalid : jika pernyataan benar dan kesimpulan salah
Cara
menentukan argumen valid ada 2 cara yaitu dg tabel kebenaran metode inferensi
Langkah-langkah
tabel kebenaran
-
#tentukan
hipotesis dan kesimpulan
-
#buat
tabel kebenaran (semua hipotesis juga kesimpulan)
-
#carilah
baris kritis yaitu baris yang semua hipotesisnya bernilai benar
-
#perhatikan
pada baris kritis jika semua nilai kesimpulan benar maka argumen valid, jika
ada yang salah argumen tidak valid
Contoh
tentukan apakah argument berikut
1)
pV(qVr)……………
a)
¬
r …………… b)
Jadi
pVr
Jawab
Ada 2 hipotesa pV(qVr) dan ¬ r,
kesimpulan dengan tabel kebenaran sbb
Baris
|
p
|
q
|
r
|
qVr
|
pV(qVr)
|
¬r
|
pVr
|
1
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
2
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
3
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
4
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
5
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
6
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
7
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
8
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
Terlihat baris kritisnya pada baris 2,4,dan 6,
pada baris tersebut kesimpulannya ada yang bernilai F. jadi argument tersebut
adalah valid
P
→(qV¬r)
q→qΛr)
p→
r
jawab :
perhatikan 2 hipotesa p →(qV¬r) dan
q→(qΛr).sedang kesimpulannya p→r,dengan tabel kebenaran sbb
baris
|
p
|
q
|
r
|
¬r
|
qV¬r
|
pΛr
|
p→(qV¬r)
|
q→(qΛr)
|
p→r
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
METODE
INFERENSI
Penurunan kesimpulanberdasarkan hipotesis
yang ada
Dengan aturan – aturan sbb :
Modus ponen : p→q
P
Jadi q
Modus tollen : p
→q
¬q
Jadi ¬p
Penambahan disjungtif p
Jadi
pVq
Penyederhanaan
konjungtif pΛq
Jadi p
Silogisme
disjungtif pVq
¬p
Jadi q
Silogisme hipotesis
p→q
q→r
jadi p →r
dilemma :
pVq
p→r
q→r
jadi
r
konjungsi p
q
jadi pΛq
contoh 1 tentang modus tollen
jika budi seorang
manusia maka dia dapat mati
budi
tidak dapat mati
jadi bukan seorang
manusia
contoh 2 tentang
silogisme hipotesis
jika 18486 habis dibagi
18 maka 18486 habis dibagi 9
jika 18486 habis dibagi 9 maka jumlah digitnya
habis dibagi 9
jadi jika 18486 habis
dibagi 18 maka jumlah digitnya habis dibagi 9
0 komentar:
Posting Komentar