BAB 1



LOGIKA


PENDAHULUAN
·         Logika adalah ilmu yang mempelajari tentang penalaran yang berhubumgan dengan pembuktian validitas suatu argumen.
·         Argument yang berisi pernyataan-pernyataan harus dirubah menjadi bentuk logika untuk dapat dibuktikan validitasnya.
·         Cara membuat ke bentuk logika, argument harus dirubah menjadi preposisi-preposisi selanjutnya preposisi dirubah menjadi variabel preposisi dengan huruf.
·         Setiap variabel preposisi ditentukan nilainyadan dimanipulasi dengan cara tertentu untuk mendapatkan nilaikebenarannya.
·         Contoh-contoh argument yang valid dan yang bisa dipakai adalah. Disjunctive Sillogism, Hypothecal Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens.
·         Argument : permis & kesimpulan, preposisi / pernyataan semua berbentuk kal.
·         Preposisi dinotasikan dengan huruf abjad dan diberi nilai benar dan salah.
·         Eksprersi terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika


PREPOSISI  
Kalimat yang benar atau salah, ttp tidak keduanya
·         Preposisi atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa
+ atom / kalimat sederhana
+ kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika.
·         Kalimat sederhana bisa berupa
+ symbol konstanta : true dan false
+ symbol variabel proposisi : p,q,r,p1,q1
·         Literial adalah atom atau negasinya.

OPERATOR  LOGIKA
(disusun berdasarkan hirarki)
Symbol
Arti (dibaca)
Bentuk
¬
Negasi / not / tidak
Tidak …
Λ
Konjungsi / and / dan
…. Dan ….
v
Disjungsi / or / atau
…. Atau …
Implikasi
Jika ….. maka ….
Ekuivalensi / biimplikasi
…. Jika hanya jika …
·         Definisi kalimat / preposisi
o   setiap konstanta logika true dan false adalah proposisi
o   variabel logika p,q,r,,p1,q1,…. Dalah proposisi
o   jika a dan b adalah proposisi maka a Λ b, a V b , a  b dan -a adalah proposisi.

MEMPRESENTASIKAN FAKTA
·         proporsisi bisa mempresentasikan kalimat berita
·         p : saya malas belajar
·         q : saya lulus kuliah
·         p Λ q : saya malas belajar dan lulus kuliah
·         p  ¬q : jika saya malas belajar maka saya tidak lulus kuliah


AMBIGUITY
·         Ambigu : mempunyai banyak arti
·         Contoh : p Λ q V r berarti p Λ(q V r) atau (p Λ q)V r
·         Untuk menghilangkan ambiguity bisa  menggunakan notasi kurung buka dan tutup yaitu (dan) atau prioritas/hirarki operator (precedence)

Table kebenaran
v  Adalah table yang menunjukkan nilai kebenaran dan hasil kombinasi proposisi-proposisinya
v  Secara umum jika ada n variabel proposisi , maka tabel kebenarannya ada 2n baris.
v  Definisi masing-masing penghubung/operator sbb:
p
q
p
P Λ q
P V q
P  q
P ↔ q
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T




v  Keterangan tabel lihat halaman berikut

Keterangan tabel
1)      Negasi
Proposisi ¬p memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan  aslinya
Misal jika p bernilai F maka ¬p bernilai T
2)      Konjungsi 
Proposisi p Λ q (di baca p dan q ) adalah bernilai benar bila nilai  p dan q keduanya bernilai benar, sedangkan kombinasi yang lain bernilai salah
3)      Disjungsi
Proposisi p  q (dibaca p atau q ) adalah bernilai salah , bila nilai p dan q keduanya bernilai salah, sedangkan kombinasi yang lain bernilai benar
4)      Implikasi
Proposisi p q (dibaca :# jika p maka q,# q apabila p,# p hanya bila q,# p sarat cukup q, # q syarat perlu p )adalah bernilai salah bila p benar dan q salah, sedangkan kombinasi lainya bernilai benar
5)      Biimplikasi
Proposisi p↔ q ( dibaca p bila hanya bila q ) yang berarti juga (p → q)Λ(q→p) adalah bernilai benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama ( keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah )

Contoh
Misal  ;  p = budi orang kaya
            Q=budi berduka cita
Tulislah bentuk simbul logika kalimat-kalimat berikut :
a)      Budi orang yang miskin  tetapi bersuka cita.
b)      Budi orang kaya atau ia sedih.
c)      Budi tidak kaya ataupun bersuka cita.
d)      Budi orang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.
Jawab :  a). ¬p Λ q                   b). pV¬q
             c).¬p Λ¬ q                  d). ¬pV (pΛ¬ q)

contoh 2
diketahui kalimat-kalimat yang sudah dalam bentuk symbol logika berikut dibawah ini,buatlah kebenarannya:
a). ¬(¬pV¬q)                            b).¬(¬p ↔q)

c). (p→q)Λ¬(pVq)                   d).(¬pΛ(¬qΛr)) V (qΛ r ) V (p Λr)
jawab  :
p
q
r
¬p
¬q
¬qΛr

qΛr
pΛr

T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F

Contoh 3
Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat berikut ini benar?”tidaklah benar bila rumah kuno selalu bersalju ataupun angker,dan tidak juga benar bila sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak”
Jawab
Membuat variabel proporsisi misal p=

Selanjutnya didapat bentuk logika sbb (¬(pVq)) Λ¬(rVs)).
Untuk menyelidiki kondisi kombinasinya dimana seluruh kalimat bernilai benar,harus dibuat tabel kebenaran ……………










Dari tabel diatas terlihat bahwa
Tidaklah benar bila rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga benar bila sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak adalah bernilai benar bila rumah kuno tersebut tidak selalu bersalju,tidak selalu angker,tidak selalu rusak, dan hotelpun tidak selalu hangat  

EKUIVALEN (p q) atau p  q
Adalah bila hanya bila ruas kiri dan ruas kanan memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari masing-masing kalimat penyusunnya (kalimat pada ruas kiri dan kalimat pada ruas kanan )

Contoh :
Tentukan apakah pasangan bentuk logika p → q dengan ¬p Vq ekuivalen
Jawab :
Buat tabel kebenaran kedua bentuk logika sbb :
p
q
P→ q
¬p
¬pVq
















  Oleh karena tiap-tiap baris nilai kebenaran sama, maka p→q   ¬pVq

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA
1). Hukum komunitatif ; p Λ q  q Λ p ; p V q  q V p
2). Hukum asosiatif ;  pΛq )Λr pΛ(qΛr); (pΛq)Λr pΛ(qΛr)
3). Hk distributif; ; pΛ(q Vr) (pΛq)V(pΛr); pV(qΛr) (pΛq)V(pΛr);
4). Hk.identitas ; pΛT  p;                pVF=p
5). Hk. Ikatan ;     pΛF  p;                pVT  p
6). Hk. Negasi ; (pΛ¬p)  F ;  (pV ¬p)  T ;
7). Hk.Negasi ganda  ¬ ( ¬p)  p ;
8). Hk. Idempoten ;  (pΛp)  p;       (pVp  p;
9). Hk. Demogran ; ¬ ( pΛq)   pV ¬q, ¬(pVq)  ¬pΛ¬q,
10). Hk.absorbsi ; pV (pΛq)  p                 pΛ(pVq)  p
11). Hk. Negasi T dan F ;   ¬T  F             ¬F T
p ↔ q ( p → q )Λ ( q→p )
 
¬(p → q)  p Λ¬q
 
P → q  ¬ p V q
 
Catatan :

Manfaat hokum-hukum diatas adalah dapat digunakan untuk menyederhanakan kalimat-kalimat  yang komplek
Contoh :
Sederhanakan bentuk , ¬(¬p Λ q) Λ (p V q)
Jawab :
 (¬ ¬ pV¬q)Λ( pVq ) ; berubah jadi ini karena hk demorgan
  (pV¬q)Λ(pVq) ; berubah jadi ini  karena hk negasi ganda
         pV(¬qΛq) ; berubah jadi ini karena hk distributive
        pVF ;  berubah jadi ini karena hk
        p   ; berubah jadi ini karena hk

Untuk membuktikan ekuivalensi dengan cara : biasanya bentuk yang lebih komplek diturunkan ke yang lebih sederhana , jika sama - sama komplek sama – sama diturunkan dg hk yang berbeda jika terdapat penghubung , dan , penghubung tersebut harus dirubah dulu dalam bentuk penghubung , V, Λ,
dan ¬
contoh buktikan ekuivalensi berikut tanpa tabel kebenaran
a)       ( q→p ) ↔ ( ¬ p→¬q)
Jawab
Ruas kanan tampaknya lebih komlpek, untuk itu yang disederhanakan ruas kanan
(¬p→¬q )      ¬ (¬p)V¬q            (transformasi dari → ke V )
         pV¬q              (negasi ganda )
   ¬qVp                 (komunikatif)
      q →p                  (transformasi dari V ke → )
Terbukti ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu (q→p) ↔ ( ¬p→¬q)
b)       (p→(q→r))  ((pΛq)→r)
Jawab
Ruas kiri ; (p→(q→r))  (  ¬pV(q→r))
                                 ¬pV (¬qVr)
                                 (¬ pV ¬q)Vr
                                 ¬( pΛq)Vr
                                 (p Λ q)→r  terbukti sama dengan ruas kanan

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah suatu kalimat yang selalu bernilai benar (T) , dan tak peduli nilai kebenaran kalimat penyusunnya.
Kontradiksi adalah suatu kalimat yang bernilai salah.
Misal diketahui implikasi adalah p→q   maka :
Konversinya adalah     q → p
Inversinya adalah      ¬p→¬q
Kontraposisinya adalah   ¬q →¬p
 Catatan implikasi ikuivalensi dg kontraposisi jadi merupakan tautology
Contoh
Tentukan apakah kalimat dibawah
a)                  (pΛq)→q
b)                  q→(pVq)
tautologi atau kontradiksi dengan cara tabel kebenaran
jawab
a). dengan tabel kebenaran
P
Q
pΛq
(pΛq)→q

















Oleh karena semua baris pada kolom ( pΛq)→q bernilai T maka (pΛq)→q adalah tautologi
P
Q
pVq
q→(pVq)
















b).dengan tabel kebenaran  



semua baris pada kolom q→(pVq) adalah T maka q→(pVq) merupakan tautologi

INFERENSI LOGIKA
Menentukan nilai kebenaran suatu kesimpulan berdasarkan sejumlahkalimat yang diketahui nilai kebenarannya
1).argumen valid : jika semua hipotesis / pernyataan benar dan kesimpulan juga benar.(kebenaran kesimpulan ini dikatakan turun dari hipotesis)
2).argumaen invalid : jika pernyataan benar dan kesimpulan salah

Cara menentukan argumen valid ada 2 cara yaitu dg tabel kebenaran metode inferensi
Langkah-langkah tabel kebenaran
-          #tentukan hipotesis dan kesimpulan
-          #buat tabel kebenaran (semua hipotesis juga kesimpulan)
-          #carilah baris kritis yaitu baris yang semua hipotesisnya bernilai benar
-          #perhatikan pada baris kritis jika semua nilai kesimpulan benar maka argumen valid, jika ada yang salah argumen tidak valid
Contoh tentukan apakah argument berikut
1)      pV(qVr)…………… a)
¬ r        …………… b)
        Jadi   pVr
Jawab
Ada 2 hipotesa pV(qVr) dan ¬ r, kesimpulan dengan tabel kebenaran sbb
Baris
p
q
r
qVr
pV(qVr)
¬r
pVr
1
T
T
T
T
T
F
T
2
T
T
F
T
T
T
T
3
T
F
T
T
T
F
T
4
T
F
F
F
T
T
T
5
F
T
T
T
T
F
T
6
F
T
F
T
T
T
F
7
F
F
T
T
T
F
F
8
F
F
F
F
F
T
F
 Terlihat baris kritisnya pada baris 2,4,dan 6, pada baris tersebut kesimpulannya ada yang bernilai F. jadi argument tersebut adalah valid
P →(qV¬r)
q→qΛr)
p→ r
jawab :
perhatikan 2 hipotesa p →(qV¬r) dan q→(qΛr).sedang kesimpulannya p→r,dengan tabel kebenaran sbb
baris
p
q
r
¬r
qV¬r
pΛr
p→(qV¬r)
q→(qΛr)
p→r

T
T
T
F
T
T
T
T
T

T
T
F
T
T
F
T
F
F

T
F
T
F
F
T
F
T
T

T
F
F
T
T
F
T
T
F

F
T
T
F
T
F
T
F
T

F
T
F
T
T
F
T
F
T

F
F
T
F
F
F
T
T
T

F
F
F
T
T
F
T
T
T

METODE INFERENSI
Penurunan kesimpulanberdasarkan hipotesis yang ada
Dengan aturan – aturan sbb :
Modus ponen :    p→q
                          P
                        Jadi  q
Modus tollen  :   p →q
                        ¬q              
                              Jadi ¬p
Penambahan disjungtif       p
                                          Jadi pVq
Penyederhanaan konjungtif                 pΛq
                                                            Jadi   p
Silogisme disjungtif      pVq
                                          ¬p
                                       Jadi q
Silogisme hipotesis
                             p→q
                                 q→r
                           jadi p →r
dilemma :
             pVq
                p→r
                q→r
        jadi    r
konjungsi     p
                      q
              jadi pΛq

contoh 1  tentang modus tollen

jika budi seorang manusia maka dia dapat mati
budi tidak dapat mati
jadi bukan seorang manusia

contoh 2 tentang silogisme hipotesis
jika 18486 habis dibagi 18 maka 18486 habis dibagi 9
 jika 18486 habis dibagi 9 maka jumlah digitnya habis dibagi 9
jadi jika 18486 habis dibagi 18 maka jumlah digitnya habis dibagi 9


                       



Category: 0 komentar

0 komentar:

Poskan Komentar