BAB 5



FUNGSI


Fungsi merupakan kejadian husus dari relasi.
Definisi
Misalkan A dan B adalah Himpunan . Relasi biner f dari A ke B disebut suatu fungsi  jika untuk setiap elemen  a didalam A terdapat satu elemen tunggal b didalam B sedemikian hingga  (a,b) Є f. ditulis f(a)=b. Jika f adalah fungsi dari A ke B , ditulis  f: A®B yang artinya  f memetakan  A ke B.
-          Jika f adalah fungsi dari A ke B , A disebut daerah asal (domain) dari f, dan B disebut daerah hasil (kodomain/range) dari  f
-          Jika f(a)=b , maka a dinamakan prabayangan dari b,  b dinamakan  bayangan dari a
                    A                                                                           B
                    a                                      f                                   b



 
contoh gambar fungsi f memetakan A ke B


 




contoh
1. Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}
2. Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari  A={1,2,3, 4} ke B={u, v, w}
3. Diketahui f={(1,u), (1,v),(2,v), (3,w)} dari  A={1,2,3, 4} ke B={u, v, w}
4. Diketahui f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari  A={1,2,3, 4} ke B={u, v, w}
Tentukan apakah f merupakan fungsi
Jawab
1.  f adalah fungsi dari A ke B, karena daerah asal f adalah A dan daerah hasil B
2.  f adalah bukan fungsi dari A ke B, karena daerah asal f adalah {1,2,3} tidak sama dengan A
3.  f adalah bukan fungsi dari A ke B, karena  1 dalam A dipetakan ke dua buah elemen dalam B
4. f adalah fungsi dari A ke B , meskipun u didalam B merupakan bayangan dari dua elemen dalam A.

Fungsi  Injektif (satu-satu), surjektif (pada/onto), bijektif (berkoresponden sau-satu)
A. Fungsi  f disebut injektif jika tidak ada dua elemen dari himpunan A yang memiliki bayangan yang
Oval: a       b 

c      e

                                   Sama. Dengan kata lain , jika a dan b anggota dari himpunan A, maka f(a)¹f(b)
 



                                                                                                                          Gambar fungsi satu-satu

Contoh
1. Diketahui f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w,x}. tentukan  apakah fungsi satu-satu?
2. Diketahui f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}. tentukan  apakah fungsi satu-satu?
3.Diketahui f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}. tentukan  apakah fungsi satu-satu?
Jawab
1. f adalah fungsi satu-satu
2. f adalah fungsi satu-satu
3. f adalah bukan fungsi satu-satu  karena f(1)=f(2)=u

B. Fungsi f disebut  surjektif (pada/onto) , jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari
                            Satu atau lebih dari elemen himpunan A. Dengan kata lain fungsi f adalah surjektif
                             Bila semua elemen B merupakan daerah hasil dari f
                                          A                                                               B
 





Contoh
1.Diketahui f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}.  apakah f fungsi surjektif/pada?
2. Diketahui f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}. apakah f fungsi surjektif?
Jawab
 1. f adalah bukan fungsi surjektif karena w tidak ada dalam daerah hasil
2.  f adalah fungsi surjektif.

C. Fungsi disebut bijektif(berkoresponden satu-satu), jika fungsinya injektif dan surjektif
Contoh
Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}
Jawab
F adalah fungsi bijektif karena f tersebut injektif (satu-satu)dan surjektif (pada).

Fungsi Invers
Misalkan f: A ®B adalah suatu fungsi , jika f fungsi bijektif (korespodensi satu-satu) , maka dapat menemukan inversnya dari f yang dilambangkan dengan notasi  f-1. Misalkan a dalah elemen dari himpunan A dan b adalah elemen dari himpunan B, maka  f-1(b)= a   jika f(a)= b
Contoh
Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari  A={1,2,3} ke B={u, v, w}. Tentukan  f-1
Jawab
 f-1 ={(u, 1), (v, 2), (w, 3)}
contoh
diketahui f: A ®A dengan  f(a)=a+2  .Tentukan   f-1
jawab
b=f(a) = a+2
  a= b-2
 f-1(b)= a = b-2, selanjutnya variabelnya ditukar sehingga didapat  f-1(a)=a-2

Fungsi Komposisi
Jika ada beberapa fungsi , fungsi-fungsi tersebut bisa dikomposisikan untuk menghasilkan fungsi yang baru. Misalakan g adalah fugnsi dari himpunan A ke himpunan B , dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C . Komposisi  f dan g, dinotasikan  dengan ( f0 g ) adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan  oleh
                                             (fog)(a)= f(g(a))
Oval: f(g(a))Oval: g(a)=bOval: aA                      B      C
                                      g                                                      f








 



                                                             f0g                            gambar fungsi komposisi
contoh
Diberikan fungsi   g= {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan dari A={1, 2, 3} ke  B={ u, v , w}
Dan fungsi   f ={(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan dari   B={ u, v , w} ke C ={ x, y, z}
Tentuka fungsi  (f0g)
Jawab
(f0g) =  {(1, y), (2, y), (3, x)}

Contoh 2
Diketahui  fungsi  g(x)=x+1   dan    f(x)= x2
a. tentukan  (f0g)(x)       b. tentukan   (f0f)(x)    c. tentukan apakah  (f0g)(x)  = (g0f)(x) 
jawab
a) (f0g)(x)  = f(g(x))= f(x+1)2
b)  (f0f)(x)  =f(f(x))= f(x+1)= (x+1) + 1 = x+2
c)   (g0f)(x)  = g(f(x))=g(x2)= x2+1 terlihat bahwa     (f0g)(x)  ¹  (g0f)(x)
Category: 0 komentar

BAB 4

RELASI
I.  Relasi pada Himpunan
Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dapat dinyatakan dalam suatu struktur yaitu RELASI. Cara yang paling mudah menyatakan/menulis  hubungan antar elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Dengan  notasi (a, b)ЄR artinya a dihubungkan dengan b oleh R
Relasi biner R antara dua himpunan yaitu himpunan A dan himpunan B adalah himpunan bagian dari AXB,  dengan notasi  RÍ(AXB).
Himp. A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh
1.Misal A={Amir, Budi , Cecep} adl himp. Mahasiswa , dan B={F221, F251, F323} adl himp. Kode mata kuliah di jurusan TI . Tentukan himpunan ( AXB) dan ada berapa elemen himpunan (AXB) tersebut.
Jawab
(AXB)= {(Amir, F221), (Amir, F251), (Amir, F323), (Budi, F221), (Budi, 251), (Budi, F221), (Cecep, F211), (cecep, F251), (cecep, 323)}.

2. Misalkan P={2, 4, 8, 9, 15} dan Q={2, 3, 4}, relasi R: P ® Q yang didefinisika  (a, b)ЄR, jika a habis
    dibagi b . Tentukan himpunan relasi R dengan mendaftar kan semua elemennya.
jawab
           R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}
# catatan relasi pada himpunan pada A adalah relasi dari A ke A

Cara penulisan Relasi
Selain relasi biner ditulis dalam bentuk pasangan terurut seperti diatas sebenarnya masih banyak cara lain , disini disajikan 3 cara yang umum yaitu tabel, matriks, dan graf berarah.
1. Cara Tabel
     Jika relasi R direpresentasikan cara tabel maka kolom pertama menyatakan daerah asal ,
     sedang kolom kedua daerah hasi.
Contoh
Diketahui  relasi   R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}. Tulis dalam bentuk tabel relasi tersebut.
Jawab
Daerah asal (P)
Daerah hasil(Q)
2
2
4
2
4
4
8
2
8
4
9
3
15
3

2. Cara Matriks
Jika relasi R adalah relasi dari A={a1,a2,..am} ke B={b1,b2,...bn}   direpresentasikan dalam matris M
Yaitu
                                 B1       b2 ...........bn                dimana   mij =      1,      (ai , bj) Є R
Text Box: a1 
a2

am
Double Bracket: m11m12  .......... m1n
m21   m22  .........m2n

mm1  mm2 ..........mmn
                                                                                                                     0,      (ai , bj) Ï R

M =
               .                 .          .                 .
                                                                                 Dengan kata lain , elemen matriks bernilai 1 bila posisi (i,

j) ada hubungan  yaitu ai berhubungan dengan bj  , dan bernilai 0 bila  ai tidak berhubungan dengan bj

Contoh
Diketahui  relasi   R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}. Tulis dalam bentuk matriks relasi tersebut.
Jawab
                        2         3          4


 



   M=


Dalam hal ini a1=2,a2=4,a3=8,a4=9,a5=15,b1=2,b2=3,dan b3=4
3. Cara Graf Berarah
Graf berarah merupakan penulisan relasi secara grafis. Tiap-tiap elemen himpunan dinyatakan dengan titik (simpul) , dan setiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur yg arah nya ditunjuk dg sebuah panah . dengan kata lain , jika (a, b)ЄR , maka sebuah busur  dibuat dari simpul a ke simpul b. simpul a disebut simpul asal dan b disebut simpul tujuan. Sedangkan untuk pasangan terurut (a,a) dinyakan dg busur dari simpula ke simpul a sendiri, busur semacam ini disebut gelang atau kalang(loop).
Contoh
Diketahui  relasi   R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}. Tulis dalam bentuk graf berarah relasi tersebut.
Text Box: 3Jawab
 






                                                                                        
Sifat-sifat relasi biner
1. Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif,  jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.

Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}
a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1),  (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) bersifat refleksif karena  (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).
Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks  denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya ,  sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Simetris (setangkup)
Sebaliknya dikatakan tidak simetris.

Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}
a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R simetris ?
Jawab
a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga  (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R

Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a

3. Transitif (penghantar)
Relasi R pada himpunan A disebut  transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.

Contoh
Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A
a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3),  (2,4), (4,2)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.
b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR


Mengkombinasi Relasi dg operasi himpunan
A. Relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut  maka operasi-operasi  pada himpunan juga berlaku yaitu operasi irisan (, gabungan (, selisih(-), dan beda setangkup(Å).

Contoh
Misal A={a,b,c} dan B={a,b,c,d}. diketahui himpunan relasi R1={(a,a),(b,b),(c,c)} dan himpunan relasi R2={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B.
Pertanyaan tentukan : R1ÇR2 ; R1ÈR2 ; R1-R2 ; R2-R1 ;dan R1ÅR2
Jawab
a) R1ÇR2 = {(a,a)}
b) R1ÈR2 = {( a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
c)  R1-R2  = {(b,b),(c,c)}
d)  R2-R1  = { (a,b),(a,c),(a,d)}
e)   R1ÅR2 =  {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}

B. Jika relasi R1  dan R2 masing-masing dinotasikan dengan MR1 dan MR2, maka matrik yang menyatakan gabungan (V)artinya atau dan irisan(L)artinya dan dari kedu relasi tersebut adalah
     MR1ÈR2 = MR1 V MR2
    MR1ÇR2 = MR1L MR2
Ingat : aturan irisan dan gabungan hanya dalam hal ini elemennya ditulis  1 dan  0
Contoh
Diketahui relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks





Double Bracket: 1   0   0
1   0   1
1   1   0


Double Bracket: 0   1   0
0   1   1
1   0   0

 


   R1=                               dan  R2= 


Tentukan  a) MR1ÈR2
Double Bracket: 0   1   0
0   1   1
1   0   0
Double Bracket: 1   1   0
1   1   1
1   1   0
Double Bracket: 1   0   0
1   0   1
1   1   0
                   b)MR1ÇR2
jawab
a) MR1ÈR2 = MR1 V MR2 =                        V                            =








Double Bracket: 1   0   0
1   0   1
1   1   0


Double Bracket: 0   1   0
0   1   1
1   0   0
Double Bracket: 0   0   0
0   0   1
1   0   0


 


b) MR1ÇR2 = MR1L MR2=                         L                            =


Komposisi  Relasi
Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti  kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan  R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
          R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}

Contoh
Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan
 S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah
                                                                                        MR1oR2= MR1 . MR2
operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V
Dalam hal ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V)  seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali

contoh
Diketahui relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks





Double Bracket: 1   0   1
1   1   0
0   0   0


Double Bracket: 0   1   0
0   0   1
1   0   1

 


    R1=                             dan   R2=


Tentukan matriks   MR1oR2
Jawab
     MR1oR2= MR1 . MR2







Double Bracket: 1   0   1
1   1   0
0   0   0
Double Bracket: 0   1   0
0   0   1
1   0   1
Double Bracket: 1   1   1
0   1   1
0   0   0

 


               =                                                      =                          .



Relasi n-ary
Relasi yang dibahas diatas adalah relasi biner yaitu hanya menghubungkan dua buah himpunan . relasi yang menghubungkan lebih dari dua himpunan relasinya dinamakan relasi n-ary(baca ener) relasi n-ary ini penting dalam basis data. Misal bila n=4 berarti dapat ditulis (a1, a2, a3, a4), dan kalau ditulis dalam bentuk tabel berarti ada 4 kolom .

Basis data adalah kumpulan tabel. Salah satu model basis data adalah model basis data relasional yaitu satu tabel satu relasi.
ATRIBUT adalah setiap kolom pada tabel, daerah asal(domain) dari atribut adalah himpunan tempat
                 dari semua anggota atribut tersebut berada. Setiap ATRIBUT  menyatakan sebuah FIELD
FILE adalah seiap tabel pada basisdata
RECORD adalah  suatu baris pada tabel.
BASIS DATA adalah kumpulan file, sedangkan file kumpulan record, dan record kumpulan field.
Atribut husus pada tabel yang  memmberikan ciri secara tunggal elemen relasinya disebut KUNCI. dengan kata lain pada suatu himpunan mempunyai elemen-elemen yang semua beda.
Category: 0 komentar