BAB 5

Diposting oleh Unknown

FUNGSI

Fungsi merupakan kejadian husus dari relasi.

Definisi

Misalkan A dan B adalah Himpunan . Relasi biner f dari A ke B disebut suatu fungsi jika untuk setiap elemen a didalam A terdapat satu elemen tunggal b didalam B sedemikian hingga (a,b) Є f. ditulis f(a)=b. Jika f adalah fungsi dari A ke B , ditulis f: A®B yang artinya f memetakan A ke B.

- Jika f adalah fungsi dari A ke B , A disebut daerah asal (domain) dari f, dan B disebut daerah hasil (kodomain/range) dari f

- Jika f(a)=b , maka a dinamakan prabayangan dari b, b dinamakan bayangan dari a

A B

a f b

contoh gambar fungsi f memetakan A ke B

contoh

1. Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}

2. Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3, 4} ke B={u, v, w}

3. Diketahui f={(1,u), (1,v),(2,v), (3,w)} dari A={1,2,3, 4} ke B={u, v, w}

4. Diketahui f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3, 4} ke B={u, v, w}

Tentukan apakah f merupakan fungsi

Jawab

1. f adalah fungsi dari A ke B, karena daerah asal f adalah A dan daerah hasil B

2. f adalah bukan fungsi dari A ke B, karena daerah asal f adalah {1,2,3} tidak sama dengan A

3. f adalah bukan fungsi dari A ke B, karena 1 dalam A dipetakan ke dua buah elemen dalam B

4. f adalah fungsi dari A ke B , meskipun u didalam B merupakan bayangan dari dua elemen dalam A.

Fungsi Injektif (satu-satu), surjektif (pada/onto), bijektif (berkoresponden sau-satu)

A. Fungsi f disebut injektif jika tidak ada dua elemen dari himpunan A yang memiliki bayangan yang

Sama. Dengan kata lain , jika a dan b anggota dari himpunan A, maka f(a)¹f(b)

Gambar fungsi satu-satu

Contoh

1. Diketahui f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w,x}. tentukan apakah fungsi satu-satu?

2. Diketahui f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}. tentukan apakah fungsi satu-satu?

3.Diketahui f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}. tentukan apakah fungsi satu-satu?

Jawab

1. f adalah fungsi satu-satu

2. f adalah fungsi satu-satu

3. f adalah bukan fungsi satu-satu karena f(1)=f(2)=u

B. Fungsi f disebut surjektif (pada/onto) , jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari

Satu atau lebih dari elemen himpunan A. Dengan kata lain fungsi f adalah surjektif

Bila semua elemen B merupakan daerah hasil dari f

A B

Contoh

1.Diketahui f={(1,u), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}. apakah f fungsi surjektif/pada?

2. Diketahui f={(1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}. apakah f fungsi surjektif?

Jawab

1. f adalah bukan fungsi surjektif karena w tidak ada dalam daerah hasil

2. f adalah fungsi surjektif.

C. Fungsi disebut bijektif(berkoresponden satu-satu), jika fungsinya injektif dan surjektif

Contoh

Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}

Jawab

F adalah fungsi bijektif karena f tersebut injektif (satu-satu)dan surjektif (pada).

Fungsi Invers

Misalkan f: A ®B adalah suatu fungsi , jika f fungsi bijektif (korespodensi satu-satu) , maka dapat menemukan inversnya dari f yang dilambangkan dengan notasi f^-1. Misalkan a dalah elemen dari himpunan A dan b adalah elemen dari himpunan B, maka f^-1(b)= a jika f(a)= b

Contoh

Diketahui f={(1,u), (2,v), (3,w)} dari A={1,2,3} ke B={u, v, w}. Tentukan f^-1

Jawab

f^-1 ={(u, 1), (v, 2), (w, 3)}

contoh

diketahui f: A ®A dengan f(a)=a+2 .Tentukan f^-1

jawab

b=f(a) = a+2

a= b-2

f^-1(b)= a = b-2, selanjutnya variabelnya ditukar sehingga didapat f^-1(a)=a-2

Fungsi Komposisi

Jika ada beberapa fungsi , fungsi-fungsi tersebut bisa dikomposisikan untuk menghasilkan fungsi yang baru. Misalakan g adalah fugnsi dari himpunan A ke himpunan B , dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C . Komposisi f dan g, dinotasikan dengan ( f₀g ) adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh