RELASI
I. Relasi pada Himpunan
Hubungan
antara
elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dapat dinyatakan dalam suatu
struktur yaitu RELASI. Cara yang paling mudah menyatakan/menulis hubungan antar elemen dari dua himpunan
adalah dengan himpunan pasangan terurut. Dengan
notasi (a, b)ЄR artinya a dihubungkan dengan b oleh R
Relasi biner R antara dua
himpunan yaitu himpunan A dan himpunan B adalah himpunan bagian dari AXB, dengan notasi
RÍ(AXB).
Himp. A disebut daerah
asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Contoh
1.Misal A={Amir, Budi ,
Cecep} adl himp. Mahasiswa , dan B={F221, F251, F323} adl himp. Kode mata
kuliah di jurusan TI . Tentukan himpunan ( AXB) dan ada berapa elemen himpunan
(AXB) tersebut.
Jawab
(AXB)= {(Amir, F221),
(Amir, F251), (Amir, F323), (Budi, F221), (Budi, 251), (Budi, F221), (Cecep,
F211), (cecep, F251), (cecep, 323)}.
2. Misalkan P={2, 4, 8,
9, 15} dan Q={2, 3, 4}, relasi R: P ® Q yang didefinisika (a, b)ЄR, jika a habis
dibagi b . Tentukan himpunan relasi R
dengan mendaftar kan semua elemennya.
jawab
R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4),
(9,3), (15,3)}
# catatan relasi pada
himpunan pada A adalah relasi dari A ke A
Cara
penulisan Relasi
Selain relasi biner
ditulis dalam bentuk pasangan terurut seperti diatas sebenarnya masih banyak
cara lain , disini disajikan 3 cara yang umum yaitu tabel, matriks, dan graf
berarah.
1. Cara Tabel
Jika relasi R direpresentasikan cara tabel
maka kolom pertama menyatakan daerah asal ,
sedang kolom kedua daerah hasi.
Contoh
Diketahui relasi
R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}. Tulis dalam bentuk
tabel relasi tersebut.
Jawab
Daerah
asal (P)
|
Daerah
hasil(Q)
|
2
|
2
|
4
|
2
|
4
|
4
|
8
|
2
|
8
|
4
|
9
|
3
|
15
|
3
|
2. Cara Matriks
Jika
relasi R adalah relasi dari A={a1,a2,..am} ke
B={b1,b2,...bn} direpresentasikan dalam matris M
Yaitu
B1 b2 ...........bn dimana mij = 1,
(ai , bj) Є R
0,
(ai , bj) Ï R
M =
. . . .
Dengan kata lain , elemen matriks bernilai 1 bila posisi (i,
j) ada hubungan yaitu ai berhubungan dengan bj
, dan bernilai 0 bila ai tidak berhubungan dengan bj
Contoh
Diketahui relasi
R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}. Tulis dalam bentuk
matriks relasi tersebut.
Jawab
2 3 4
M=
Dalam
hal ini a1=2,a2=4,a3=8,a4=9,a5=15,b1=2,b2=3,dan
b3=4
3.
Cara Graf Berarah
Graf
berarah merupakan penulisan relasi secara grafis. Tiap-tiap elemen himpunan dinyatakan
dengan titik (simpul) , dan setiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur yg
arah nya ditunjuk dg sebuah panah . dengan kata lain , jika (a, b)ЄR , maka
sebuah busur dibuat dari simpul a ke
simpul b. simpul a disebut simpul asal dan b disebut simpul tujuan. Sedangkan
untuk pasangan terurut (a,a) dinyakan dg busur dari simpula ke simpul a
sendiri, busur semacam ini disebut gelang atau kalang(loop).
Contoh
Diketahui
relasi R= {(2,2),(4,2),
(4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}. Tulis dalam bentuk graf berarah relasi
tersebut.
Jawab
Sifat-sifat relasi biner
1.
Refleksif
Relasi R
pada himpunan A disebut refleksif, jika
(a,a)ЄR untuk setiap aЄA.
Contoh
Relasi R
didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui
, R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3),
(4,2), (4,3), (4,4)}
b) Diketahui
, R={(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3),
(4,4)}.
Tentukan
apakah R refleksif ?
Jawab
a)
bersifat refleksif karena (a,a) ada
dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b) tidak
refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).
Dilihat
dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal
utamanya , sedangkan graf berarah adanya
gelang pada setiap simpulnya.
2.
Simetris (setangkup)
Sebaliknya
dikatakan tidak simetris.
Contoh
Relasi R
didefinisikan pada himpunan A dimana
A={1,2,3,4}
a)
Diketahui , R={(1,1), (1,2),(2,1),
(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
b)
Diketahui , R={(1,1), (2,3), (4,2),
(4,3), (4,4)}.
Tentukan
apakah R simetris ?
Jawab
a)
simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga
(b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak
simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R
Dilihat
cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang
elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen
diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i=
1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b,
maka ada juga busur dari b ke a
3.
Transitif (penghantar)
Relasi R
pada himpunan A disebut transitif
(penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada
(a,c)ЄR.
Contoh
Misal
A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A
a)
diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
b)
Diketahui , R={(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)}.
Tentukan
apakah R refleksif ?
Jawab
a)
transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan
(b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.
b) tidak
bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada
(a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4),
dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR
Mengkombinasi Relasi dg operasi himpunan
A. Relasi
biner merupakan himpunan pasangan
terurut maka operasi-operasi pada himpunan juga berlaku yaitu operasi
irisan (, gabungan (, selisih(-), dan beda setangkup(Å).
Contoh
Misal
A={a,b,c} dan B={a,b,c,d}. diketahui himpunan relasi R1={(a,a),(b,b),(c,c)}
dan himpunan relasi R2={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari
A ke B.
Pertanyaan
tentukan : R1ÇR2 ; R1ÈR2 ; R1-R2
; R2-R1 ;dan R1ÅR2
Jawab
a) R1ÇR2 = {(a,a)}
b) R1ÈR2 = {(
a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
c) R1-R2 = {(b,b),(c,c)}
d) R2-R1 = { (a,b),(a,c),(a,d)}
e) R1ÅR2
= {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
B. Jika relasi
R1 dan R2
masing-masing dinotasikan dengan MR1 dan MR2, maka matrik
yang menyatakan gabungan (V)artinya atau dan irisan(L)artinya
dan dari kedu relasi tersebut adalah
MR1ÈR2 = MR1 V MR2
MR1ÇR2 = MR1L MR2
Ingat :
aturan irisan dan gabungan hanya dalam hal ini elemennya ditulis 1 dan
0
Contoh
Diketahui
relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
R1= dan R2=
Tentukan a) MR1ÈR2
b)MR1ÇR2
jawab
a) MR1ÈR2 = MR1 V MR2
= V =
b) MR1ÇR2 = MR1L MR2= L =
Komposisi
Relasi
Komposisi
relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R
adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan
B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan R0S adalah relasi dari A ke C yang
didefinisikan oleh
R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C,
dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}
Contoh
Misalkan R
= {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan
B={2,4,6,8} ,dan
S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah
relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S
= {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
Jika
relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1
dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi
tersebut adalah
MR1oR2= MR1 . MR2
operator “
0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan
V
Dalam hal
ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V) seperti jumlah
sedang kan tanda dan(L)
seperti kali
contoh
Diketahui
relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
R1= dan R2=
Tentukan
matriks MR1oR2
Jawab
MR1oR2= MR1 . MR2
=
= .
Relasi n-ary
Relasi yang dibahas diatas adalah relasi biner yaitu hanya
menghubungkan dua buah himpunan . relasi yang menghubungkan lebih dari dua
himpunan relasinya dinamakan relasi n-ary(baca ener) relasi n-ary ini penting
dalam basis data. Misal bila n=4 berarti dapat ditulis (a1, a2,
a3, a4), dan kalau ditulis dalam bentuk tabel berarti ada
4 kolom .
Basis data
adalah kumpulan tabel. Salah satu model basis data adalah model basis data relasional yaitu satu tabel
satu relasi.
ATRIBUT
adalah setiap kolom pada tabel, daerah asal(domain) dari atribut adalah
himpunan tempat
dari semua anggota atribut
tersebut berada. Setiap ATRIBUT
menyatakan sebuah FIELD
FILE
adalah seiap tabel pada basisdata
RECORD
adalah suatu baris pada tabel.
BASIS DATA
adalah kumpulan file, sedangkan file kumpulan record, dan record kumpulan
field.
Atribut husus
pada tabel yang memmberikan ciri secara
tunggal elemen relasinya disebut KUNCI. dengan kata lain pada suatu himpunan
mempunyai elemen-elemen yang semua beda.
0 komentar:
Posting Komentar